Формули на Виет

УРОК № 1


I. ТЕМА НА УРОКА : ФОРМУЛИ НА ВИЕТ
9 клас, първо равнище
II. ВИД НА УРОКА : УРОК ЗА НОВИ ЗНАНИЯ
III. ЦЕЛИ НА УРОКА :
1. ОБРАЗОВАТЕЛНИ :
а) затвърдяване знанията за решаване на квадратно уравнение;
б) в края на часа учениците да знаят формулите на Виет за връзка между корените на квадратното уравнение и неговите коефициенти;
в) да могат да използва формулите на Виет в конкретни математически ситуации :
- без да решават дадено квадратното уравнение, при даден един негов корен да намират втория;
- като използват обратната теорема на Виет, да доказват при какво условие две числа са корени на дадено квадратно уравнение;
- да могат да преобразуват и пресмятат стойността на изрази, които са функции на корените на квадратното уравнение;
2. ВЪЗПИТАТЕЛНИ :
а) възпитаване и използване на стремежа на учениците за опростяване, рационализиране и приложение на теоретичните знания;
б) формиране на навици за устно решаване на някои задачи;
в) постигане на трайност, задълбоченост на знанията чрез повторение, систематизация, упражнение;
г) създаване на интерес и мотивация у учениците за придобиване на математически знания и умения;
IV. ОСНОВНИ ПОНИЯТИЯ : квадратно уравнение, коефициенти на квадратното уравнение, корени на квадратното уравнение
V. ХОД НА УРОКА
A) Активиране вниманието на учениците и насочване към спецификата на учебния материал:
& #61656; Решаване на задачите от домашната работа
Зад.1 Определете коефициентите на квадратните уравнения :
а) 2x2 – 3x + 4 = 0 б) x2 + x -1 = 0 в) x2 –(3-m)x +4 =0
Извод ( преход към новата тема) : Вярното определяне на коефициентите на квадратното уравнение, безспорно е важно
условие за неговото правилно решение. Днес ще ви запозная къде още да използваме това умение.
B) Поставяне на темата : Заглавието на урока : Формули на Виет.
• Франсоа Виет е френски математик, който пръв е въвел буквените означения за коефициентите на квадратното уравнение и ги използва за получаване на общи доказателства и решения.Чрез няколко примера ще достигнем до твърденията, които той формулира.

Зад.2 Дадено е кв. уравнение : 2x2 + 7x + 3 = 0
a) решете уравнението ( уравнението се решава на дъската ) Отг. x1 = -3; x2 = - & #189;
б) намерете сумата на корените : x1 + x2= ? и тяхното произведение x1. x2 = ?
Отг. x1 + x2 = - 7/2 и x1. x2 = 3/2
& #9679; Съсредоточете вниманието си върху следния факт : ако в даденото кв. уравнение разделим двете му страни на коефициента пред x2, а = 2. Какво ще получим : x2 + 7/2x + 3/2 = 0
& #9679; 3/2 е произведението на корените на квадратното уравнение , където 3 = c , 2 = а т.е. получихме x1. x2 = 3/2 = c/a
-7 / 2 е тяхната сума, където - 7 = b и 2 = а , т.е. x1 + x2 = - 7/2 = –b/а

Зад. 3 Решете сами в тетрадките си уравнението x2 -5x+ 4 = 0, и намерете сумата на корените му и тяхното произведение.
Отг. . x1 + x2 = 5 и x1. x2 = 4 Извод : ( прави се от учениците)
Обобщавам :за квадратното уравнение ax2 +bx + c = 0 /: a & #8800;0
x2 + b/a + c/a = 0,
получаваме : x1 + x2 = - b/a
x1. x2 = c/a
• формулировка на Т1 на Виет: Ако . x1 и x2 са корени на кв. уравнение ax2 +bx + c = 0, a & #8800;0, то : x1 + x2 = - b/a и x1. x2 = c/a
• следва кратка презентация с доказателство на теоремата;
Зад. 4 Ако x1 иx2 са корени на кв. уравнение 6x2 -5x + 1 = 0, без да го решавате посочете верния отговор за сумата и произведението на корените му:
а) 5/6 и -1/6; б) -5/6 и -1/6; ; в) 5/6 и 1/6; ; г) -5 и 1;
Зад5 Ако x1 и x2 са корени на кв. уравнение x2 +3x - 4 = 0, без да го решавате посочете верния отговор за сумата и произведението на корените му:
а) 3 и 4; б) 3 и -4; ; в) -3 и -4; ; г) -3 и 4;
Зад6 ( ново условие, провокиращо учениците)
Вярно ли е, че за квадратното уравнение x2 +x +10= 0, x1 + x2 = -1 и x1. x2 = 10 ?
Тези които ще дадат верен отговор явно могат да анализират задачата и да се досетят, че никъде в условието не е споменато, че x1 и x2 са корени на квадратното уравнение; те са осъзнали принципа на работа и формулировката на теоремата; който сгреши явно е пропуснал да съсредоточи своето внимание върху важни факти)
• формулировка на обратната теорема на Виет:
(продължава презентацията за обратната теорема на Виет )
Зад.7 Числата 5 и 2 корени ли са на квадратното уравнение
x2 -7x +10= 0 ?( обсъждат се двете възможности)

• Ще демонстрираме с вас няколко ситуации в които чрез формулите на Виет ще решаваме по бързо и по рационално :

Зад.8 Да се определи втория корен x2 , ако :
а) x1 = 2 е корен на уравнението 5 x2 -7x - 6 = 0
б) x1 = 6 – 1 е корен на уравнението x2 +2x - 5 = 0
• Задачите се решават на дъската от ученици; формулите на Виет стоят записани на дъската; обобщавам стъпките:
1. Нужно ли е да доказваме, че кв. уравнение има корени?
2. Определяме коефициентите на кв. уравнение.
3. Записваме формулите: x1 + x2 = - b/a и x1. x2 = c/a
4. Заместваме с данните от условието на задачата.
5. Намираме корена x2.

Зад.9 (задачата има за цел да покаже на учениците приложението на формулите на Виет и да ги подготви за правилно справяне с домашната работа и за следващия учебен час)
Ако x1 и x2 корени на квадратното уравнение x2 -7x +4 = 0 като използвате формулите на Виет пресметнете стойността на израза :
а) А =( x1 + x2 )/7 -3 x1 x2 =?
Учениците сами трябва да определят стъпките за решаване на задачата:
1.Правилно определяне на коефициентите на кв. уравнение;
2. Намиране сбора и произведението на корените по формулите на Виет;
3. Заместване в условието;
4. Пресмятане;
б) Б = 1/ x1 +1/ x2 =?
( При тази задача някои от учениците ще започнат да решават кв, уравнение за да намерят корените и да заместят – верен, но не рационален метод и тук ще се “спънат” в неточния корен на D; други ще допуснат грешката директно да заместят сбора на корените, трети ще се сетят да преобразуват израза, така че да достигнат до това, което ни предлагат формулите на Виет. Задачата ще покаже каква част от класа работи творчески, рационално и мисли логически. Ще заемства знания от по долните класове на обучение за намиране на НОК , допълнителни множители и умения за правилни тъждествени преобразования, ще доведе до коментари, които са много нужни за достигане на вярно заключение и от там до решение- вярно и рационално).
• Обобщаване на новия материал – формулите на Виет;
• Анализ на активността на учениците, на степента на усвояване на новите знания, на допуснатите грешки по време на часа които също ни учат, стимулиране на рационално и бързо работещите ученици.
• Задаване на домашна работа: По зададените за домашна работа 3 задачи съставете тест, като за всеки въпрос посочите по 4 отговора ,само един от които е верен:
1. зад. Кои са коефициентите на уравнението x2 -10x -3 = 0
2. зад. Ако уравнението 3x2 -107x +3 = 0 има два реални корена,то тяхната сума и произведение са ?
3. Числото 3 е корен на уравнението x2 +8x -33 = 0. Намерете втория му корен.( без да решавате уравнението).
4. Колко е стойността на израза А = x12. x2+ x1 x22,ако x1 и x2 са корени на уравнението x2 -6x +2 = 0( задачата да бъде със свободен отговор)
C). План на урока :
1.Връзка между корените и коефициентите на квадратното уравнение.
а) Теорема на Виет: Ако ax2 +bx + c = 0, a & #8800;0, то :
& #61656; x1 + x2 = - b/a и
& #61656; x1. x2 = c/a
б) Обратна теорема на Виет: Ако за числата x1 и x2 са в сила равенствата
& #61656; x1 + x2 = - p и x1. x2 = q , то x1 и x2 са корени на уравнението x2 +px + q = 0, a & #8800;0
2. Приложение на формулите на Виет.

D). Методи използвани в урока : анализ, индукция, при доказателството на теоремата се набляга на факта, че „наследникът” е конюнкция на две съждения, провокиране, познавателни методи ,иновации.
E). Вътрешно предметни връзки: използвани са знанията на учениците по математика от 5 и 8 клас.
F). Използвана литература :
учебник по математика за 9 клас- 1 равнище, издателство “Архимед” и “Регалия”;
”Методика на преподаването по математика в средното училище”, автор Петканчин;
“Методика на обучението по математика”- Ганчев


Добави коментар

Трябва да сте регистриран потребител, за да коментирате материалите.

Коментари

Ивона ( 3) на 11 Януари 2015
Написали сте го много сложно, много дълго обяснение ! На мен не ми харесва! Има по лесен начин за обяснение
Geno ( 2) на 21 Януари 2009
Браво за труда ,помогна ми много