Олимпиада по математика - общински кръг (10.03.2006)
зад. 1
В окръжност с радиус R е вписан развностранен триъгълник ABC. Точка M принадлежи на дъгата AB. Разстоянията от M до върховете A, B, C се означават с x, y, z. Докажете, че: x+y = z
зад. 2
Около трапец ABCD (AB II CD, AB > CD) е описана окръжност с дължина R на радиуса. Пресечната точка E на диагоналите ги дели в отношение 3:1. Ако ъгъл DEC = 60o, да се намери лицето на трапеца.
зад. 3
Числата a, b, c образуват аритметична програсия.
а) да се докаче, че числата
2, a2 + 4b2 + c2, a4 + 16b4 + c4
образуват геометрична прогресия.
б) да се намерят числата, ако сумата им е 15 и сумата от квадратите им е 83.
зад. 4
Да се докаже, че ако уравнението
ax2 + bx + c = 0
където а, b и c са цели числа, има за разционален корен несъкратимата дроб q = m/n, то m дели c, а n дели a.