Множества на числата - N, No, D, Q, I, R, C

Множество на естествените числа N

N = {1, 2, 3, …, n, …} – включват се цели положителни числа;

най-малкото естествено число е 1;

няма най-голямо естествено число – прибавяйки едно, винаги се получава по-голямо от предходното число;

всяко число се получава от предходното, като се добави единица;

Нека а, b и c са естествени числа:

сумата им е естествено число;

произведението им е естествено число;

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a . b = b . a

(a . b) . c = a . (b . c)

a . (b + c) = a . b + a . c

ако a > b, то (a – b) е естествено число;

ако a <= b, то (a – b) не е естествено число;

Множество на естествените числа и нулата No

N е подмножество на No;

No – обединение на N и нула;

притежава всички свойства на N;

ако a и b са естествени числа и a = b, то а – b = 0 и 0 принадлежи на No;

Множество на дробнита числа D

a / b – числа от D;
=> а – числител;
=> b – знаменател;

No е подмножество на D – ако a принадлежи на No, то а може да се представи като а / 1;

ако b = 10ⁿ => D се нарича множество на десетичните дроби;

ако b е различно от 10ⁿ => D се нарича множество на обикновени дроби;

D притежава всички свойства на No;

a и b са естествени числа и a < b, то a / b принадлежи на D;

Основно свойство
Нека а и b са естествени числа => a / b = (a.m) / (b.m)

Видове дроби

правилни – a < b => 6 / 8, 5 / 7

неправилни – a > b => 6 / 4, 9 / 5

непериодични – знаменателят е 10ⁿ (n – естествено число) и при прилагане на основното свойство той остава в такъв вид;

периодични - знаменателят не е 10ⁿ (n – естествено число) и при прилагане на основното свойство той не може да се получи в такъв вид;

Операции

a / b + c / b = (a + c) / b, b е различно от 0;

a / b – c / b = (a + c) / b, b е различно от 0;

a / b + c / d = (a.d + c.b) / (b.d), b и d – различни от 0;

a / b - c / d = (a.d - c.b) / (b.d), b и d – различни от 0;

a / b . c / d = (a.c) / (b.d), b и d – различни от 0;

a / b : c / d = (a.d) / (b.c), b, d и c – различни от 0;

Множетсво на рационалните числа Q

Q – включва положителни числа, нула и отрицателни числа;

N, No и D се съдържат в Q;

Q притежава всички свойства на D;

ако a и b принадлежат на Q и а < b, то (a – b) също принадлежи на Q;

a / b – числа от Q, като a и b са взаимно прости числа => НОД (a, b) = 1, b е различно от 0;

Абсолютна стойност (модул)

| a | = a, a > 0;

| a | = 0, a = 0;

| a | = - a, a < 0;

Множество на ирационалните числа I

безкрайни, непериодични, десетични дроби;

не могат да се представят като a / b;

Множество на реалните числа R

R – обединение на Q и I;

Свойства на модула

| a | > = 0;

| a | = | - a |;

a < = | a |;

| a + b | < = | a | + | b |;

| a – b | > = | a | - | b |;

| a + b | > = | a | - | b |;

| a | - | b | < = | a + b | < = | a | + | b |;

| a . b | = | a | . | b |

| a / b | = | a | / | b |, b е различно от нула;

Множество на комплексните числа C

наредена двойка реални числа (a, b);

i = (0, 1) – имагинерна единица;

всяко комплексно число може да се представи в алгебричен вид => (a, b) = a + b . i;

Свойства

(а₁, b₁) = (a₂, b₂) <=> a₁ = a₂, b₁ = b₂;

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂);

(a₁, b₁) - (a₂, b₂) = (a₁ - a₂, b₁ - b₂);

(a₁, b₁) . (a₂, b₂) = (a₁ . a₂ – b₁ . b₂, a₁ . b₂ + a₂ . b₁);

(a₁, b₁) : (a₂, b₂) = ((a₁ . a₂ + b₁ . b₂)/(a₂² + b₂²), (a₁ . b₂ - a₂ . b₁)/(a₂² + b₂²));

Следствия

i¹ = i;

i² = - i;

i³ = - i;

i⁴ = 1;

i⁴ⁿ = 1;

i⁴ⁿ⁺¹ = i;

i⁴ⁿ⁺² = -1;

i⁴ⁿ⁺³ = - i;

Множества на числата - N, No, D, Q, I, R, C

Добави коментар

Коментари

За материала