Питагорова теорема

РАЗДЕЛ : ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК
ТЕМА: МЕТРИЧНИ ЗАВИСИМОСТИ В ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК
ВИД НА УРОКА : за нови знания
КЛАС : 9 клас, първо равнище
БРОЙ ЧАСОВЕ : 1
ЦЕЛИ НА УРОКА :
1. ОБРАЗОВАТЕЛНИ :
а) овладяване на основните зависимости между дължините на отсечките измерени в една и съща мерна единица в правоъгълен триъгълник;
б) учениците да умеят рационално да използват правата и обратна теорема на Питагор и връзките между останалите елементи;
в) изграждане на умения за достигане до верността на дадено съждение чрез анализиране и правилни умозаключения;
г) овладяване от учениците на устна и писмена математическа реч с всичките и характерни особености : простота, яснота, точност, лаконичност;
2. ВЪЗПИТАТЕЛНИ :
а) формиране на правилен мироглед у ученика чрез демонстриране пътя на познанието;
б) развитие на доказателствен стил на мислене , на необходимостта от правилни и логични разсъждения за извършване на доказателство или при решаване на задачи;
в) възпитаване и използване на стремежа на учениците за опростяване, рационализиране и приложение на теоретичните знания;
г) постигане на трайност, задълбоченост на знанията чрез повторение, систематизация, упражнение;
д) създаване на интерес и мотивация у учениците за придобиване на математически знания и умения, чрез показване на приложението им;
МЕТОДИ И СРЕДСТВА: анализ, синтез , провокиране, беседа, иновации; факти от историята на математиката; чертежи.
ОСНОВНИ ПОНИЯТИЯ : метрични зависимости, правоъгълен триъгълник, катети, хипотенуза, ортогонална проекция, проекция на катета върху хипотенузата;
МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ : физика, строителна механика, горска таксация, мебелно производство, ландшафтно строителство;
ВЪТРЕШНОПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ : използвани са знанията на учениците по математика за правоъгълен триъгълник, подобни триъгълници, пропорционални отсечки, корен квадратен.
ХОД НА УРОКА :
1. Подготовка на класа за работа.
2. Преход към новата тема : припомням кой триъгълник е правоъгълен, елементите на правоъгълния триъгълник, въвеждам понятието ортогонална проекция, проекции на катетите върху хипотенузата а1 и b1. Поставям темата „ Метрични зависимости в правоъгълен триъгълник „
3. Организация на урока :
Зад. 1 Даден е правоъгълният триъгълник ABC, CH е височина. AH – проекция на катета b върху хипотенузата AB. Докажете, че :


а) & #8710;ACH ~ & #8710;CBH и hc2 =a1.b1
б) & #8710;CBH ~ & #8710;ABC и a2 = c.a1
в) & #8710;CHA ~ & #8710;ABC и b2 = c.b1

& #61656; Чрез а) дефинирам Т : Квадратът на височината към хипотенузата в правоъгълния триъгълник е равна на произведението на проекциите на катетите върху нея.
& #61656; Чрез б) и в) дефинирам Т : Квадратът на всеки катет в правоъгълния триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и ортогоналната му проекция върху нея.
& #61656; Чрез б) и в), чрез по членно събиране и отчитане на факта, че а1 + b1 = c , достигам до теоремата на Питагор : Сборът от квадратите на катетите в правоъгълен триъгълник е равен на квадрата на хипотенузата.
& #61656; В сила е и обратната теорема на Питагор : Ако сборът от квадратите на двете страни в един триъгълник е равен на квадрата на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.
& #61656; Запознавам учениците с историята на Питагоровата теорема , като материала се показва или на щрайбпроектор или чрез мултимедия.
ИСТОРИЧЕСКИ ОБЗОР
Историческият обзор ще започна от древен Китай. Тук интересна е математическата книга Чу-пей. В това съчинение за питагоровата теорема се казва така :“Ако разложим правият ъгъл на съставни части, то линията, съединяваща краищата на неговите страни ще бъде 5, когато основата е 3, а височината 4”.
Кантор (голям немски математически историк) счита, че равенството
32 + 42 = 52
било известно на египтяните още около 2300 г. пр.хр., по времето на фараон Аменхотеп І (съгласно папирус 6619 на Берлинския музей).
Според Кантор египетските строителите и земемерите (“специалисти по възлите”), построявали правите ъгли с помощта на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Този триъгълник е наричан египетски или свещен триъгълник.
Много лесно може да се възпроизведе начина на техните построения. Взема се връвчица с дължина 12 м. И се връзва към цветна лента на разстояние 3 м от единия край и 4 метра от другия. Правият ъгъл ще се окаже заключен между страните с дължина 3 и 4 м. Строителите биха могли да възразят, че техният начин на построяване става излишен, ако се възползват, например от дървен ъгъл, прилаган от всички строители. И действително, има известни египетски рисунки, на които се среща такъв инструмент.
Има данни, че и на вавилонците е била известна теоремата на Питагор. В един текст от времето на Хамураби, т.е. от 2000 г.пр.хр., се привежда приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълния триъгълник. От тук може да се направи извода, че и те са умеели да правят изчисления с правоъгълен триъгълник, поне в някои случаи. Основавайки се, от една страна, на сегашното ниво на знания за египетската и вавилонската математика, а от друга - на старогръцки източници, Ван-дер-Варден (холандски математик) направил следният извод:
“Заслугата на първите гръцки математици, такива като Талес, Питагор и питагорейците , не е откриването на математиката, а нейната систематизация и обоснование. В техните ръце изчислителните рецепти, основани на смътни представи се превърнали в точна наука.” . Геометрията при индийците, както и при египтяните и вавилонците, е била тясно свързана с култове. Много вероятно теоремата за квадрата на хипотенузата да е била известна в Индия около 18 в пр.хр.
Формулировки на теоремата
Това са различни формулировки на теоремата на Питагор в превод от старогръцки, латински и немски езици: При Евклид тази теорема гласи (дословен превод): “В правоъгълния триъгълник квадрата на страната натянутой над правия ъгъл е равен на квадратите на страните, заключващи правия ъгъл.” Латинският превод на арабския текст на Аннаирици (около 900 г.пр.хр.) е направен от Герхард Клемонски (началото на 12 в) : “Във всеки правоъгълен триъгълник квадрата, образуван на страната, натянутой над правия ъгъл е равен на сумата на двата квадрата, образувани на двете страни, заклъчващи правия ъгъл”. В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в превод звучи така: “И така, площта на квадрата, измерен по дължината на страната, е толкова по-голяма, както при двата квадрата, които измерени по двете му страни, граничещи с правия ъгъл”. В първият руски превод на евклидовите “Начала”, направен от Ф.И.Петрушевски, теоремата на Питагор е изложената така: “В правоъгълния триъгълник квадрата от страните, противолежащи на правия ъгъл е равен на сумата от квадратите от страните, съдържащи правия ъгъл”.
4. Задачи върху въведените теореми :
Зад. 1 Даден е правоъгълен & #8710;ABC с катети a и b и хипотенуза с. Да се намери третата страна, ако :
а) а = 3, b = 4;
б) а = 1, b = & #8730;2;
в) b = 2, c = 8;
Зад. 2 Правоъгълен ли е & #8710;ABC, ако :
а) а = 5, b = 12, с = 13;
б) а = 1, b = & #8730;2, с =& #8730;3;
в) а = 4, b = 6, с = 52;
Зад. 3 Даден е правоъгълен & #8710;ABC с елементи а1 = 2, hc =& #8730;5, намерете a, b, c, b1, и S на триъгълника.
Зад. 4 Намерете диагонала на квадрат със страна a.
5. Заключителна част :
& #61656; Обобщаване на новия материал
& #61656; Анализ на активността на учениците, на степента на усвояване на новите знания, на допуснатите грешки по време на часа които също ни учат, стимулиране на рационално и бързо работещите ученици.
& #61656; Задаване на домашна работа – стр. 102, зад. 1,2,3.

ПЛАН НА УРОКА :
1. Основни елементи в правоъгълен триъгълник :
- катети a, b;
- хипотенуза c;
- височина към хипотенузата hc;
- ортогонални проекции на катетите върху хипотенузата a1, b1;
2. Основни твърдения :
а) Т1: a2= c.a1
b2=c.b1
б) Т2 : hc2= a1.b1
в) Т : Питагорова теорема
От теорема Т1 имаме a2 = c.a1, b2 = c.b1
Събираме по членно тези равенства и получаваме :
a2 + b2 = c.a1 + c.b1= c.(a1 + b1) = c.c = c2 т.е. a2 + b2 = c2
г) Обратна теорема на Питагор : ако в един триъгълник сбора от квадратите на двете му страни е равен на квадрата на третата му страна, то триъгълника е правоъгълен.
3. Приложение на Питагорова теорема :
& #61656; Задачи, показващи приложението на Питагорова теорема в различните специалности :
Задача от горска таксация за специалност „ Горско и ловно стопанство „ – Да се определи височината на дърво при дадена база и височина на нивото на което сме застанали.
Задача от ландшафтно строителство за специалност „ Ландшафтна архитектура „ – При залесяване на парк е необходимо наклона на шкарпата да се залеси с друг вид растителност от основната за терена. Ако базата е 30м., а височината е 2м., намерете наклона на шкарпата.
Задача по пътно строителство за специалност- ” Архитектура и строителство „ – Определете наклона на пътен участък , ако по хоризонталата разстоянието е 2км., а височината на терена е 25м..
Задача от мебелно производство за сп. „ Мебелно производство „ – Намерете размерите на напречното сечение на най- издръжливата греда, която може да се издяла от дървен труп с диаметър 42 см. В задачата се знае, че напречното сечение е правоъгълник ABCD и перпендикулярите, спуснати от А и С към диагонала BD, делят BD на три равни части.

ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА : учебник по математика за 9 клас- 1 равнище, издателство “Архимед” и “Регалия”,”Методика на преподаването по математика в средното училище”, автор Петканчин, „Методика на обучението по математика”- Ганчев


Добави коментар

Трябва да сте регистриран потребител, за да коментирате материалите.

Коментари

Няма добавени коментари.